Matemática 3° Ano

Estudo da Reta 

 

Equação geral da reta: toda reta r do plano cartesiano pode ser representada por uma equação:

 ax + by + c = 0 

Onde x e y são coordenadas de um ponto genérico pertencente a r e a, b e c são números reais, sendo a e b não nulos ao mesmo tempo.

1) Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos: A(–1, 2) e B(–2, 5).
[– 5 + 2x + (–2y)] – [(– 4) + (– y) + 5x] = 0
[– 5 + 2x – 2y] – [– 4 – y + 5x] = 0
– 5 + 2x – 2y + 4 + y – 5x = 0
–3x – y – 1 = 0
A equação geral da reta que passa pelos pontos A(–1, 2) e B(–2, 5) é dada pela expressão: –3x – y – 1 = 0.
Equação segmentária da reta: a equação de uma reta r que intercepta os eixos nos pontos distintos da origem  N (0, n) e  P (p, 0), pode ser obtida da seguinte forma:
 

             Sendo:



1) Determine a forma segmentária da equação da reta s cuja equação geral é:
s: 2x + 3y – 6 = 0
 

 Determine a área do triângulo de vértices A (1, 3), B (2, 5) e C (-2,4).
Solução: Primeiro devemos realizar o cálculo do determinante.

Para determinar a equação segmentária da reta s devemos isolar o termo independente c. Assim, segue que:
2x + 3y = 6
Dividindo a equação por 6, obtemos:
A identidade acima é a forma segmentária da equação da reta s.

Coeficiente angular de   uma reta: num  sistema  cartesiano ortogonal, a  reta  r, não  vertical, forma com Ox um ângulo com medida alfa. Essa reta  r tem como coeficiente angular um  número real  m  dado  por tg de alfa. Observe:

- Quando o ângulo é nulo, então m é zero.

- Quando o ângulo é agudo, então m é positivo. 

- Quando o ângulo é obtuso, então m é negativo.

 

No triângulo formado por A, B e C, a tg alfa é determinada por: 

  

Equação reduzida da reta:  pode-se determinar a equação reduzida de r, isolando o valor de y em função de x. 

Sendo:

- coeficiente angular (m) da reta;

- coeficiente linear (n) da reta:

1) A equação reduzida de uma reta de acordo com os pontos P(2, 7) e Q(–1, –5) pertencentes à reta. Para determinar essa equação há duas maneiras, observe:

1º maneira

Determinar o coeficiente angular da reta.

m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)
m = (–5 – 7) / (–1 – 2)
m = –12 / –3
m = 4

De acordo com o ponto P(2, 7), temos:

y – y₁ = m * (x – x₁)
y – 7 = 4 * (x – 2)
y – 7 = 4x – 8
y = 4x – 8 + 7
y = 4x – 1

2ª maneira 

Temos que a lei de formação de uma equação reduzida da reta é dada por y = mx + c.

Considerando que ela passa por P(2, 7) e Q(–1, –5), temos:

 

P(2, 7)

7 = m * 2 + c
7 = 2m + c 2m + c = 7

Q(–1, –5)

–5 = m * (–1) + c
–5 = –m + c –m + c = –5

Nesse caso, os valores dos coeficientes angular (m) e linear (c) serão calculados por um sistema de equações. Veja:

Isolando c na 2ª equação:

–m + c = –5
c = –5 + m

Substituindo c na 1ª equação:

2m + c = 7
2m + (–5 + m) = 7
2m – 5 + m = 7
3m = 7 + 5
3m = 12
m = 12/3
m = 4

Calculando o valor de c:

c = –5 + m
c = –5 + 4
c = –1

Portanto, a equação reduzida da reta que passa pelos pontos P(2, 7) e Q(–1, –5), corresponde à expressão y = 4x – 1.

Equação da reta, conhecidos um ponto e a direção 

- Pode-se determinar, quando a reta não é vertical, pela fórmula:

- Quando a reta for vertical, determina-se pela fórmula:

x = xa

Equações paramétricas da reta: são equações  paramétricas de uma reta s onde f (t) e g (t) expressam leis de funções do primeiro grau.

x =  f (t)

y = g (t)

Posição relativa de duas retas no plano cartesiano

- r e s são paralelas, quando:

- r e s são coincidentes, quando:

- r e s são concorrentes, quando:

- r e s são perpendiculares, quando:

Ângulos entre duas retas

Considerando r e s, retas não verticais, concorrentes mas não perpendiculares entre si:

 A medida do ângulo agudo:

A medida do ângulo obtuso:

OBS:  Caso r seja vertical, então:

Distância entre ponto e reta: a distância entre o ponto P (xp, yp) e a reta (r) ax  by + c = 0, pode ser calculada utilizando a fórmula:

1) O ponto A(–1, –2) é um vértice de um triângulo equilátero ABC, cujo lado BC está sobre a reta de equação x + 2y – 5 = 0. Determine a medida h da altura desse triângulo. 

Área de um triângulo ABC: cujos vértices são os pontos A (xa, ya), B (xb, yb) e C (xc, yc), pode ser calculada da seguinte forma:

1) Calcule a área do triângulo de vértices A (4 , 0), B (0 , 0) e C (0 , 6).

Primeiro passo é fazer o cálculo do determinante das coordenadas dos pontos A, B e C. Teremos:

Assim obtemos:

Portanto, a área do triângulo de vértices A (4 , 0), B (0 , 0) e C (0 , 6) é 12.

2) Os pontos A (0, 0), B (0, -8) e C (x, 0) determinam um triângulo de área igual a 20. Encontre o valor de x.

Sabemos que a área do triângulo de vértices A, B e C é 20. Então,

 

Estudo Analítico da Circunferência

Equação reduzida da circunferência: considerando uma circunferência, de raio r e centro C (xc, yc) num plano  alfa, pode-se obter a equação reduzida pela fórmula:

Equação geral da circunferência: a partir da equação reduzida de uma circunferência, de raio r e centro C (xc, yc) é que pode-se chegar a equação geral:

• O termo independente é: 

• O raio é: 

• A equação geral da circunferência é do 2º grau em x e em y. 

• Os coeficientes de x² e y² são iguais e diferentes de zero. 

• Não apresenta o termo x y, isto é,  pode-se considerar que o seu coeficiente é zero. 

 
Posições do ponto P em relação à circunferência

                                                                                                                                                          

 Onde:

 n = x²p + y²p - 2xcxp - 2ycyp + (x²c + y²c - r²)

 
Posições da reta s em relação à circunferência

Reta externa à circunferência;

Reta tangente à circunferência;

Reta secante à circunferência. 

 

Posições relativas de duas circunferências 

quando:

         - externamente:

  - internamente:






     - concêntrica:





    - não-concêntrica:

COMPREENDENDO CONTEÚDO

1) O ponto P(3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0, 3) e raio 5. Calcule valor da coordenada b. 

Temos por (x – a)² + (y – b)² = r², que a circunferência de centro C(0 ,3) e raio 5, possui como representação a equação (x – 0)² + (y – 3)² = 5² ou x² + (y – 3)² = 25.
Considerando que o ponto P(3, b) pertença à circunferência, então:
x² + (y – 3)² = 25
3² + (b – 3)² = 25
9 + (b – 3)² = 25
(b – 3)² = 25 – 9
(b – 3)² = 16
b – 3 = 4 ou b – 3 = – 4
b = 4 + 3 ou b = –4 + 3
b = 7 ou b = –1
A coordenada b pode assumir os valores 7 ou –1.

2) Determine a equação da circunferência que possui centro em C(3, 6) e raio 4.

A equação da circunferência de centro C(a, b) e raio r, com r > 0, é (x – a)² + (y – b)² = r².
Portanto:
A equação da circunferência com coordenados do centro (3, 6) e raio medindo 4 é dada por:
(x – 3)² + (x – 6)² = 16

3) Dada as equações das circunferências λ₁ : x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0 e λ₂ : x² + y² – 2x – 6y + 1 = 0, determine se elas possuem pontos em comum.

Resolvendo o sistema , determinaremos se possuem pontos em comum.
Resolvendo o sistema por Adição:
– 2x – 2y – 6 = 0  → – x – y – 3 = 0 → –y = x + 3 → y = – 3 – x
Substituindo y em qualquer das equações:
x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0
x² + (–3–x)² – 4x – 8y – 5 = 0
x² + x² + 6x + 9 – 4x + 8x + 24 – 5 = 0
2x² + 10x + 28 = 0
Resolvendo a equação por Bháskara:
? = b² – 4ac
? = 10² – 4 * 2 * 28
? = 100 – 224
? = – 124
Em razão de delta menor que 0, a equação não possui raízes reais. Logo, as circunferências não possuem pontos em comum.